「寂しい」と「淋しい」はどちらも下記の同じ意味を持っています。

１ 心が満たされず、物足りない気持ちである。さみしい。「―・い顔つき」「懐が―・い（＝所持金が少ない）」「口が―・い」
２ 仲間や相手になる人がいなくて心細い。「一人―・く暮らす」
３ 人の気配がなくて、ひっそりとしている。さみしい。「―・い夜道」
デジタル大辞泉（小学館）

なぜ、2つの書き方、読み方が存在するのか調べてみました。

音の変化

「寂しい」と「淋しい」は、どちらも「さびしい」「さみしい」の2種類の読みがあります。
どちらの読み方が正しいのでしょうか。

「さびしい」は上代「さぶし」という形が使われていました。
「さぶし」の「さぶ」は「心が荒れすさぶ」という意味の「さぶ（荒ぶ）」が語源で、形容詞化して「さぶし（不楽）」となったという説があります。

この「さぶし」が平安時代以降に「さびし」に転じて、江戸時代になると「さびし」と「さみし」が併用されるようになりました。
バ行とマ行の音の変化はよく起こるもので、例えば「けぶり」から「けむり（煙）」、「ねぶたい」から「ねむたい（眠たい）」などが挙げられます。

こういった音の変化の歴史から、現代では「さびしい」が本来の発音として認識されています。

漢字の違い

漢字の違いはどうでしょうか。
「寂」は常用漢字で、「淋」は常用漢字外の人名用漢字です。
「寂」は「静寂」という言葉があるように、静かで音がない様子を表します。
その静かさによりさびれている様子やさびしい心境も意味するようになりました。

一方「淋」はサンズイの部首からも分かる通り水に関わる漢字で、「林」は木立が絶え間なく続くことから、「絶え間なく水の流れる様子」を表しています。
実は漢字の本場・中国では「淋」には「さびしい」の意味がありません。
「さびしい」の意味を持つのは日本のみで、江戸時代から「さびしい」に「淋しい」の字を当てるようになりました。
本義の「流れる」から涙が流れる様子を連想したのでしょう。
「淋しい」の字が使われるシーンも、涙が流れるような、人が孤独を感じている時に使われることが多いです。

これらの理由・成り立ちから、一般的には「寂しい」の漢字が使われ、心情に焦点を当てる場合にはあえて「淋しい」が用いられる傾向にあるようです。

参考：実用日本語表現辞典（寂しいと淋しいの意味の違いと使い分け） / ：語源由来辞典（寂しい／淋しい／さびしい／さみしい） / NHK放送文化研究所（サビシイ？サミシイ？）